Fonctions - Complémentaire
Révisions : applications de la dérivation
Exercice 1 : Etude de fonctions x*exp(ax+b) (avec a,b appartenant à Z \ {0})
Soit la fonction \(f\) définie ci-dessous :
\[ f: x \mapsto xe^{-3x -4} \]Déterminer la dérivée de \(f\).
Donner l'ensemble des solutions de \(f'(x) \lt 0\).
Compléter le tableau de variation de \(f\).
Exercice 2 : Etablir le tableau de signes de la dérivée à partir du tableau de variations de la fonction
{"n_intervals": 2, "signe": ["+", "-"], "signe_values": [0], "edges": ["-\\infty", "-0,83", "+\\infty"], "has_edges": false, "left_signe_value": false, "right_signe_value": false, "variations": ["+", "-"], "variations_values": ["-\\infty", "-7,92", "-\\infty"]}
À partir du tableau de variations de la fonction \(f\) ci dessus,
remplir le tableau de signes de la fonction dérivée de \(f\), notée
\(f'\).
Exercice 3 : Établir le tableau de variations d'une fonction du 2e degré (en utilisant la dérivée)
Compléter le tableau de variations de la fonction suivante :
\[ f:x \mapsto 5x^{2} -5x -6 \]
Exercice 4 : Retrouver le graphe de la dérivée depuis le graphe de la fonction
Observer les couples de courbes suivants.
Indiquer dans quels cas \(f'(x)\) peut représenter la dérivée de \(f(x)\).
- A.\(f(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-8, 8]], "scale": [30.0, 12.5], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 2.0], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -2.25 + ((((x) <= -7))?(-2*x):(((((x) <= 2.0))?(-0.117626886145406 + 0.0356652949245542*Math.pow(x, 3) + 0.244855967078189*Math.pow(x, 2) + 0.00171467764060357*Math.pow(x, 4) - 1.46227709190672*x):(((((x) <= 7.0))?(1.09266666666666 + 1.204*Math.pow(x, 2) + 0.006*Math.pow(x, 4) - 3.312*x - 0.141333333333333*Math.pow(x, 3)):(-4.16666666666665 + x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-3, 3]], "scale": [30.0, 33.333333333333336], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(-2):(((((x) <= 2.0))?(-2.0*Math.pow(0.222222222222222 - 0.111111111111111*x, 3) + Math.pow(0.222222222222222 - 0.111111111111111*x, 2)*(-4.66666666666667 - 0.666666666666667*x) - 9.0*Math.pow(0.777777777777778 + 0.111111111111111*x, 2)*(0.222222222222222 - 0.111111111111111*x)):(((((x) <= 7.0))?(1.0*Math.pow(-0.4 + 0.2*x, 3) + Math.pow(1.4 - 0.2*x, 2)*(-2.0 + 1.0*x) + 3.0*Math.pow(-0.4 + 0.2*x, 2)*(1.4 - 0.2*x)):(1))))));}", [-5, 5]]]}
- B.\(f(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-17, 17]], "scale": [30.0, 5.882352941176471], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 4.25], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -8.33333333333331 + ((((x) <= -7))?(-2*x):(((((x) <= -3.0))?(23.2239583333333 + 0.015625*Math.pow(x, 4) + 3.71875*Math.pow(x, 2) + 13.3125*x + 0.395833333333333*Math.pow(x, 3)):(((((x) <= 7.0))?(13.3678333333333 + 0.133*Math.pow(x, 2) + 0.0045*Math.pow(x, 4) + 3.156*x - 0.0693333333333333*Math.pow(x, 3)):(22.0 + x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-5, 5]], "scale": [30.0, 20.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.25], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 1 + ((((x) <= -7))?(-2):(((((x) <= -3.0))?(-2.0*Math.pow(-0.75 - 0.25*x, 3) + Math.pow(-0.75 - 0.25*x, 2)*(-10.5 - 1.5*x) - 8.0*Math.pow(1.75 + 0.25*x, 2)*(-0.75 - 0.25*x)):(((((x) <= 7.0))?(1.0*Math.pow(0.3 + 0.1*x, 3) + Math.pow(0.7 - 0.1*x, 2)*(6.0 + 2.0*x) + 3.0*Math.pow(0.3 + 0.1*x, 2)*(0.7 - 0.1*x)):(1))))));}", [-5, 5]]]}
- C.\(f(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-20, 20]], "scale": [30.0, 5.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 5.0], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -25.5 + ((((x) <= -7))?(-x):(((((x) <= 2.0))?(23.7606310013717 + 4.71330589849108*x - 0.0130315500685871*Math.pow(x, 4) - 0.204389574759945*Math.pow(x, 3) - 0.460905349794238*Math.pow(x, 2)):(((((x) <= 7.0))?(15.8253333333333 + 0.997333333333333*Math.pow(x, 3) + 16.896*x - 6.832*Math.pow(x, 2) - 0.048*Math.pow(x, 4)):(12.1666666666666 + 2*x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-6, 6]], "scale": [30.0, 16.666666666666668], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.5], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((-1 + x) <= -7))?(-1):(((((-1 + x) <= 2.0))?(-1.0*Math.pow(0.333333333333333 - 0.111111111111111*x, 3) + Math.pow(0.333333333333333 - 0.111111111111111*x, 2)*(-2.0 - 0.333333333333333*x) + 36.0*Math.pow(0.666666666666667 + 0.111111111111111*x, 2)*(0.333333333333333 - 0.111111111111111*x)):(((((-1 + x) <= 7.0))?(2.0*Math.pow(-0.6 + 0.2*x, 3) + Math.pow(1.6 - 0.2*x, 2)*(12.0 - 4.0*x) + 6.0*Math.pow(-0.6 + 0.2*x, 2)*(1.6 - 0.2*x)):(2))))));}", [-5, 5]]]}
- D.\(f(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-14, 14]], "scale": [30.0, 7.142857142857143], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 3.5], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -1.58333333333333 + ((((x) <= -7))?(x):(((((x) <= -2.0))?(-5.25933333333334 - 0.141333333333333*Math.pow(x, 3) - 0.006*Math.pow(x, 4) - 3.312*x - 1.204*Math.pow(x, 2)):(((((x) <= 7.0))?(-4.04903978052126 + 0.0356652949245542*Math.pow(x, 3) - 1.46227709190672*x - 0.00171467764060357*Math.pow(x, 4) - 0.244855967078189*Math.pow(x, 2)):(-4.16666666666667 - 2*x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-3, 3]], "scale": [30.0, 33.333333333333336], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(1):(((((x) <= -2.0))?(1.0*Math.pow(-0.4 - 0.2*x, 3) + Math.pow(-0.4 - 0.2*x, 2)*(4.2 + 0.6*x) + 5.0*Math.pow(1.4 + 0.2*x, 2)*(-0.4 - 0.2*x)):(((((x) <= 7.0))?(-2.0*Math.pow(0.222222222222222 + 0.111111111111111*x, 3) + Math.pow(0.777777777777778 - 0.111111111111111*x, 2)*(-2.0 - 1.0*x) - 6.0*Math.pow(0.222222222222222 + 0.111111111111111*x, 2)*(0.777777777777778 - 0.111111111111111*x)):(-2))))));}", [-5, 5]]]}
Exercice 5 : Étude détaillée d'une fonction homographique
Soit \(f\) une fonction homographique :
\[f: x \mapsto \dfrac{9 -8x}{-2 + 4x}\]Déterminer \(f'(x)\)
Étudier le signe de \(f'\)
Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(\left[-10; 10\right]\).